Критерий приближения Чебышева

Критерий приближения Чебышева,  широко используется не только в теории фильтров – минимум максимальной ошибки приближения (минимаксное приближение). В соответствии с этим приближением параметры передаточной функции подбираются таким образом, чтобы в полосе передачи АЧХ наблюдались равноволновые пульсации коэффициента передачи, которые являются «платой» за повышение крутизны среза фильтра. Полиномы Чебышева вычисляются по рекуррентной формуле:                         

T_n(W) = 2W T_n-1(W) – T_n-2(W),                                              (1.12)

T₁(W) = W,   T_o(W) = 1.

Исходные требования к передаточной функции фильтра обычно задаются в виде значений ω_p, ω_s и коэффициентов неравномерности (пульсаций) A_p и A_s. Для ФНЧ при W = ω/ω_p имеет место Т_N(1) = 1, |H(W)|² = 1/(1+δ²) и значением δ задается коэффициент пульсаций в полосе передачи. При задании полосы по уровню А_p, значение δ связанно с коэффициентом А_р следующим соотношением:

(1-А_р)² = 1/(1+δ²).                                                                              (1.13)

Отсюда:

δ= [1/(1-А_р)]·                                                                 (1.14).

Учитывая, что результаты вычислений будут относиться к цифровым фильтрам и при z-преобразовании с переходом в главный частотный диапазон произойдет искажение частот, до начала расчетов фактические значения задаваемых частотных характеристик (значения ω_p и ω_s) следует перевести в значения деформированных частот по выражению:

ω_d = (2/Δt) tg(ωΔt/2)           -π/Δt<ω<π/Δt.                                                (1.15)

Для учета деформации частотной шкалы в процессе билинейного преобразования при переходе в дальнейшем к полиномам по Z, выполняем расчет деформированных частот ω_dp и ω_ds по формулам:

ω_dp= 2·tg(ω_p·Δt/2)/Δt,                                                                                 (1.16)

ω_ds= 2·tg(ω_s·Δt/2)/Δt.

При нормированной частоте W =  ω/ω_dp, где ω_dp соответственно также деформированная частота, при задании As на границах зоны подавления имеем:

A_s²⁼1/(1+δ² T_N²(ω_ds/ω_dp)).                                                                          (1.17)

N = arcch[/δ] / arcch(ω_ds/ω_dp).                                                      (1.18)

Функция |H(W)|² – представляет собой энергетический спектр сигнала (спектральную плотность мощности) и не имеет фазовой характеристики, т.е. является четной вещественной, образованной из двух комплексно сопряженных функций H(W) и H*(W), при этом порядок фильтра N определяет число полюсов функции H(W) и комплексно сопряженных с ними

полюсов функции H*(W).

Преобразование Лапласа. Переводим функцию |H(W)|² на координатную ось пространства преобразования Лапласа при p = jW, для чего достаточно подставить W = p/j:

|H(р)|² = 1/[1+δ² T_N²(p/j)],                                                                  (1.19)

Полюсы функции находятся в точках нулевых значений знаменателя и все полюса с nN являются комплексно сопряженными с полюсами n<N.  Устойчивую минимально-фазовую передаточную функцию фильтра образуют полюса левой половины р-плоскости:

H(p) = G/B(p),                                                                                      (1.20)

где G – масштабный множитель, B(p) – полином Чебышева:

B(p) = B₁(p) B₂(p) … B_N(p),                                                                (1.21)

B_n(p) = p-p_n.                                                                                        (1.22)

Практическая реализация фильтра Чебышева при четном значении N производится в виде последовательной каскадной схемы биквадратными блоками, т.е. составными фильтрами второго порядка. Для этого множители B(p) в (1.21) объединяются попарно с обоих концов ряда по n (от 1 до N) по комплексно сопряженным полюсам, при этом для каждой пары получаем вещественные квадратичные множители:

В_m(p)=B_n(p)·B_N+1-n(p)=[p+j exp(jπ(2n-1)/2N)][p+jexp(jπ(2(N+1)-2n-1)/2N)]=

= [p+j exp(jπ(2n-1)/2N)][p-j exp(jπ(2n-1)/2N)] =p²+2p sin(π(2m-1)/2N)+1,

где n = 1,2, …, N/2;  m = n.                                                                        (1.23)

Общее количество секций фильтра M=N/2. При нечетном N к членам (1.23) добавляется один линейный множитель с вещественным полюсом p_(N+1)/2 = -1:

В_(N+1)/2(p)= p+1.                                                                                         (1.24)

Машинное время фильтрации на один оператор фильтра первого или второго порядка практически не отличаются, поэтому использование операторов первого порядка можно не рекомендовать и при установлении порядка фильтра по формуле (1.18) округлять расчетное значение N в сторону большего четного числа, что создает определенный запас по крутизне среза частотной характеристики.

Таким образом, передаточная функция ФНЧ Чебышева в p-области при четном N:

H(p) = G1/B_m(p) = G 1/(p²+a_mp+1),                                        (1.25)

a_m = 2 sin(π(2m-1)/2N),  m = 1,2, … ,N/2.                                         (1.26)

При нечетном N:

H(p) = (G/p+1)1/(p²+a_mp+1),                                                      (1.27)