Фильтры Чебышева первого рода

Отличительной чертой фильтров Чебышева является наимень­шая величина максимальной ошибки аппроксимации в заданной полосе частот. В действительности ошибка аппроксимации пред­ставляется в заданной полосе равновеликими пульсациями, т.е. она флуктуирует между максимумами и минимумами равной ве­личины. В зависимости от того, где минимизируется ошибка аппрок­симации — в полосе пропускания или в полосе непропускания, различают фильтры Чебышева 1-го и 2-го рода.

Фильтры Чебышева с пульсациями передаточной функции в полосе пропускания и гладким затуханием в полосе подавления называют фильтрами Чебышева первого рода, в отличие от инверсных фильтров Чебышева (второго рода).

Фильтры Чебышева 1-го рода имеют только полюсы и обеспечивают равновеликие пульсации амплитудной характеристики в полосе пропускания и монотонное изменение ослабления в полосе непропускания.

Свойство оптимальности фильтров Чебышева 1-го рода порядка N заключается в том, что не существует какого-либо другого фильт­ра N-го порядка, содержащего только полюсы, который имел бы та­кие же или лучшие характеристики и в полосе пропускания, и в полосе непропускания. Другими словами, если какой-либо фильтр N-го порядка, содержащий только полюсы, имеет в полосе пропускания лучшие характеристики по сравнению с фильтром Чебышева 1-го рода порядка N, то в полосе непропускания характе­ристики этого фильтра наверняка будут хуже, чем у фильтра Чебышева.

Аппроксимационная формула фильтров Чебышева первого рода определяется выражением:

|H(W)|² = 1/ [1+δ² T_N²(W)],

где: Т_N(W) – многочлен Чебышева N-го порядка:

T_N(W) = cos(n arccos(W)),  W1.

T_N(W)    = ch(n arcch(W)),    W>1.     N = 1,2,…

W =  ω/ω_c – нормированная частота, ω_c – частота среза АЧХ фильтра;

N – порядок фильтра, определяющий крутизну среза АЧХ;

δ  — параметр, характеризующий пульсации в полосе пропуска­ния.

При W → 0 коэффициент передачи фильтра стремится к значению 1-Ap.

На рисунке1 показано поведение квадрата амплитудной харак­теристики для фильтров Чебышева 1 рода при четных и нечет­ных N. Во всех этих фильтрах граница полосы пропускания нахо­дится при W = 1, где:

|Н (1)|² = 1/(1 + е²),  а граница полосы не­пропускания расположена   при  W= W_s.

Фильтр Чебышева 1 рода имеет простые полюсы в точках sk = σ_k + jW_k, (где к = 1, 2,…, N), которые лежат в s-плоскости на эллипсе