Как видно из тестирования, разработанная модель НЧ фильтра пропускает низкочастотные гармонические тестовые сигналы с частотой, лежащей в полосе пропускания и ослабляет тестовые сигналы с частотой, лежащей в полосе подавления. Непериодические тестовые сигналы проходят почти без ослабления. Фильтр задерживает сигнал и только после прохождения сигналом «окна», на выходе фильтра получаем»чистую» реакцию на сигнал , а до этого времени в фильтре происходит «переходный процесс». Также фильтр изменяет фазу входного сигнала, из-за сдвига импульсной характеристики фильтра  вправо.

• шаг дискретизации Δt;
• граничная частота полосы пропускания f_p;
• граничная частота полосы  подавления f_s;
• коэффициент неравномерности Ap;
• - коэффициент неравномерности As.

По умолчанию в окнах ввода стоят демонстрационные значения, по которым рассчитывается (по вышеописанной методике) и выводится на эту же форму демонстрационный график исходной передаточной функции по нормированной частоте. Если пользователь вводит новые значения, то при нажатии кнопки «Обновить» передаточная функция рассчитывается по новым введенным значениям и график перерисовывается.

Чтобы обеспечить ввод только корректных значений исходных данных пользователем, применена «защита от дурака»: ввести можно только цифры и запятую (что является настройкой по умолчанию для русифицированных операционных систем) или точку (что является настройкой по умолчанию для нерусифицированных операционных систем), как разделитель дробных чисел. При вводе точки в качестве разделителя дробных чисел пользователь русифицированных операционных систем получит сообщение с просьбой использовать в качестве разделителя дробных чисел — запятую, а пользователь нерусифицированных операционных систем  — точку. Кроме того, доступны клавиши «Backspace» и «Enter» (при нажатии на которую фокус передается в следующее окно ввода).

При переходе в форму№3 рассчитываются и выводятся на нее:

• частота Найквиста f_n;
• граничная частота полосы пропускания ωp в радианах;
• граничная частота полосы  подавления ωs в радианах;
• параметр δ ;
• деформированные  частоты  ωdp, ωds в радианах;
• расчетный порядок фильтра N.

При переходе в форму№3, кроме того, рассчитываются значения коэффициентов: am, Gm, bm, cm и γ, выводятся графики передаточных характеристик полученного фильтра.

В форме№3 пользователю предлагается выбрать порядок фильтра (четный или нечетный). По умолчанию выбран четный порядок фильтра.

При переходе в форму№4 рассчитывается импульсная характеристика (полученные значения сохраняются в массиве). Для сравнения на форму№4 выводятся исходная АЧХ и АЧХ, построенная по импульсной характеристике.

В форме№5 пользователю предлагается выбрать тестовый входной сигнал (периодический, непериодический или прямоугольный импульс). По умолчанию выбран периодический сигнал. Для каждого сигнала можно задать коэффициенты, меняющие его форму, максимумы и их смещение по оси х. По умолчанию для каждого сигнала заданы демонстрационные значения.

При переходе в форму№6, на нее выводятся для сравнения входной  и отфильтрованный сигналы.

Основные глобальные переменные:

• -Tdiskret — шаг дискретизации;
• -delta ― параметр δ;
• -gamma ― коэффициент γ;
• -N ― расчетный порядок фильтра;
• -N1 ― принятый нечетный порядок фильтра;
• -N2 ― принятый четный порядок фильтра;
• -M1 ― нечетное количество биквадратных блоков передаточной характеристики;
• -M2 ― четное количество биквадратных блоков передаточной характеристики;
• -hm ― массив, в котором хранятся значения импульсной характеристики.

Основные процедудры и функции:

• -ACH1 ― функция, вычисляющая значения передаточной функции 1-го рода;
• -ACH2 ― функция, вычисляющая значения передаточной функции 2-го рода;
• -Peredat ― функция, вычисляющая значения передаточной функции с помощью преобразования Лапласа
• -Period ― функция, вычисляющая значения тестового входного периодического сигнала ;
• -Neperiod ― функция, вычисляющая значения тестового входного непериодического сигнала;
• -Pryamougol ― функция, вычисляющая значения тестового входного прямоугольный импульса.
• - Grafik ― процедура, рисующая график исходной передаточной функции по нормированной частоте;
• -GrafikPeredat ― процедура, рисующая графики передаточных характеристик полученного фильтра, рассчитанных с использованием функции преобразования Лапласа;
• -SravnenieACH ― процедура, рисующая графики исходной ЧХ и ЧХ, построенной по импульсной характеристике;
• -GrafikSignala ― процедура, рисующая график тестового входного сигнала;
• -OtfiltrovanSignal ― процедура, рисующая график тестового входного сигнала после прохождения фильтра.

Схема взаимодействия модулей программно реализованной модели представлена ниже.

1 — переход из формы в форму;

2 — выход из программы и освобождение памяти;

3 — вызов функций: Grafik, ACH1, ACH2.

4 — вывод графика исходной передаточной функции по нормированной частоте процедурой Grafik;

5 — вызов функций: Peredat, GrafikPeredat,

6 — вывод графиков передаточных характеристик полученного фильтра, рассчитанных с использованием функции преобразования Лапласа процедурой GrafikPeredat;

7 — вызов процедуры: SravnenieACH;

8 — вывод графиков исходной ЧХ и ЧХ, построенной по импульсной характеристике;

9 — вызов функций: GrafikSignala, OtfiltrovanSignal, Period, Neperiod, Pryamougol;

10 — вывод графиков тестового входного сигнала и графика тестового входного сигнала после прохождения фильтра.

Программа состоит из 7 модулей: 6 модулей, имеющих форму + модуль, содержащий описание основных функций, процедур и глобальных переменных. Из формы в форму можно перемещаться последовательно вперед и назад. Кроме того, начиная с третьей формы, с помощью контекстного меню, привязанного к кнопке “ << ”, возможен быстрый возврат в любую из предыдущих форм.

На форме №1 осуществляется выбор рода НЧ фильтра Чебышева   — первого или второго.

На форме №2 вводятся  исходные данные фильтра:

• шаг дискретизации Δt;
• граничная частота полосы пропускания  f_p;
• граничная частота полосы  подавления f_s;
• коэффициент неравномерности Ap;
• коэффициент неравномерности As.

Здесь же осуществляется перевод задаваемых частотных характеристик (ωc, ωp, ωs) в значения деформированных частот и расчет:

• частоты Найквиста f_n;
• параметра δ ;
• порядка фильтра N;
• значений коэффициентов am, Gm, bm, cm и γ.

На этой же форме выводится график исходной передаточной функции по нормированной частоте.

На форме №3 выводятся промежуточные данные фильтра:

• частота Найквиста f_n;
• граничная частота полосы пропускания ωp (в радианах);
• граничная частота полосы  подавления ωs (в радианах);
• параметр δ ;
• деформированные  частоты  ωdp, ωds (в радианах);
• расчетный порядок фильтра N.

На этой же форме выводятся графики передаточных характеристик полученного фильтра, осуществляется выбор необходимого порядка фильтра (четного или нечетного) и рассчитывается импульсная характеристика.

На форме №4 сравниваются исходная АЧХ и АЧХ, построенная по импульсной характеристике.

На форме №5 выбирается тестовый входной сигнал (периодический, непериодический или прямоугольный импульс).

Для периодического сигнала можно задать:

• коэффициент, меняющий амплитуду;
• коэффициент, меняющий частоту.

Для непериодического сигнала можно задать коэффициенты, меняющие его форму, максимумы и их смещение по оси х. Для прямоугольного импульса можно задать его длительность.

На форме №6 сравниваются  входной  и отфильтрованный сигналы.

Все формы в процессе расчетов обращаются к модулю, (хранящему основные процедуры, функции и глобальные переменные).

|H(W)|² = 1/[1+δ²(T_N²(W_s)/T_N²(W_s/W))],                                                 (1.39)

где W = ω/ω_p, W_s = ω_s/ω_p

Условие задания параметра δ остается без изменений. На границе полосы подавления при ω=ω_s: 1+δ²T_N²(ω_s/ω_p) = 1/A_s², откуда значение N также определяется аналогично фильтру первого рода. Дальнейший порядок расчетов фильтров Чебышева второго рода не отличается от фильтров первого рода. Нули фильтров этого типа располагаются на мнимой оси в s-плоскости, а полюсы — в левой полуплоскости. Нули яв­ляются чисто мнимыми и находятся в точках:

(Отметим, что при нечетных N нуль с номером k = (N +1)/2 -находится на бесконечности.) Полюсы фильтров 2 рода можно найти, вычислив координаты особых точек знаменателя передаточ­ной функции.

T_n(W) = 2W T_n-1(W) – T_n-2(W),                                              (1.12)

T₁(W) = W,   T_o(W) = 1.

Исходные требования к передаточной функции фильтра обычно задаются в виде значений ω_p, ω_s и коэффициентов неравномерности (пульсаций) A_p и A_s. Для ФНЧ при W = ω/ω_p имеет место Т_N(1) = 1, |H(W)|² = 1/(1+δ²) и значением δ задается коэффициент пульсаций в полосе передачи. При задании полосы по уровню А_p, значение δ связанно с коэффициентом А_р следующим соотношением:

(1-А_р)² = 1/(1+δ²).                                                                              (1.13)

Отсюда:

δ= [1/(1-А_р)]·                                                                 (1.14).

Учитывая, что результаты вычислений будут относиться к цифровым фильтрам и при z-преобразовании с переходом в главный частотный диапазон произойдет искажение частот, до начала расчетов фактические значения задаваемых частотных характеристик (значения ω_p и ω_s) следует перевести в значения деформированных частот по выражению:

ω_d = (2/Δt) tg(ωΔt/2)           -π/Δt<ω<π/Δt.                                                (1.15)

Для учета деформации частотной шкалы в процессе билинейного преобразования при переходе в дальнейшем к полиномам по Z, выполняем расчет деформированных частот ω_dp и ω_ds по формулам:

ω_dp= 2·tg(ω_p·Δt/2)/Δt,                                                                                 (1.16)

ω_ds= 2·tg(ω_s·Δt/2)/Δt.

При нормированной частоте W =  ω/ω_dp, где ω_dp соответственно также деформированная частота, при задании As на границах зоны подавления имеем:

A_s²⁼1/(1+δ² T_N²(ω_ds/ω_dp)).                                                                          (1.17)

N = arcch[/δ] / arcch(ω_ds/ω_dp).                                                      (1.18)

Функция |H(W)|² – представляет собой энергетический спектр сигнала (спектральную плотность мощности) и не имеет фазовой характеристики, т.е. является четной вещественной, образованной из двух комплексно сопряженных функций H(W) и H*(W), при этом порядок фильтра N определяет число полюсов функции H(W) и комплексно сопряженных с ними

полюсов функции H*(W).

Преобразование Лапласа. Переводим функцию |H(W)|² на координатную ось пространства преобразования Лапласа при p = jW, для чего достаточно подставить W = p/j:

|H(р)|² = 1/[1+δ² T_N²(p/j)],                                                                  (1.19)

Полюсы функции находятся в точках нулевых значений знаменателя и все полюса с nN являются комплексно сопряженными с полюсами n<N.  Устойчивую минимально-фазовую передаточную функцию фильтра образуют полюса левой половины р-плоскости:

H(p) = G/B(p),                                                                                      (1.20)

где G – масштабный множитель, B(p) – полином Чебышева:

B(p) = B₁(p) B₂(p) … B_N(p),                                                                (1.21)

B_n(p) = p-p_n.                                                                                        (1.22)

Практическая реализация фильтра Чебышева при четном значении N производится в виде последовательной каскадной схемы биквадратными блоками, т.е. составными фильтрами второго порядка. Для этого множители B(p) в (1.21) объединяются попарно с обоих концов ряда по n (от 1 до N) по комплексно сопряженным полюсам, при этом для каждой пары получаем вещественные квадратичные множители:

В_m(p)=B_n(p)·B_N+1-n(p)=[p+j exp(jπ(2n-1)/2N)][p+jexp(jπ(2(N+1)-2n-1)/2N)]=

= [p+j exp(jπ(2n-1)/2N)][p-j exp(jπ(2n-1)/2N)] =p²+2p sin(π(2m-1)/2N)+1,

где n = 1,2, …, N/2;  m = n.                                                                        (1.23)

Общее количество секций фильтра M=N/2. При нечетном N к членам (1.23) добавляется один линейный множитель с вещественным полюсом p_(N+1)/2 = -1:

В_(N+1)/2(p)= p+1.                                                                                         (1.24)

Машинное время фильтрации на один оператор фильтра первого или второго порядка практически не отличаются, поэтому использование операторов первого порядка можно не рекомендовать и при установлении порядка фильтра по формуле (1.18) округлять расчетное значение N в сторону большего четного числа, что создает определенный запас по крутизне среза частотной характеристики.

Таким образом, передаточная функция ФНЧ Чебышева в p-области при четном N:

H(p) = G1/B_m(p) = G 1/(p²+a_mp+1),                                        (1.25)

a_m = 2 sin(π(2m-1)/2N),  m = 1,2, … ,N/2.                                         (1.26)

При нечетном N:

H(p) = (G/p+1)1/(p²+a_mp+1),                                                      (1.27)

Фильтры Чебышева с пульсациями передаточной функции в полосе пропускания и гладким затуханием в полосе подавления называют фильтрами Чебышева первого рода, в отличие от инверсных фильтров Чебышева (второго рода).

Фильтры Чебышева 1-го рода имеют только полюсы и обеспечивают равновеликие пульсации амплитудной характеристики в полосе пропускания и монотонное изменение ослабления в полосе непропускания.

Свойство оптимальности фильтров Чебышева 1-го рода порядка N заключается в том, что не существует какого-либо другого фильт­ра N-го порядка, содержащего только полюсы, который имел бы та­кие же или лучшие характеристики и в полосе пропускания, и в полосе непропускания. Другими словами, если какой-либо фильтр N-го порядка, содержащий только полюсы, имеет в полосе пропускания лучшие характеристики по сравнению с фильтром Чебышева 1-го рода порядка N, то в полосе непропускания характе­ристики этого фильтра наверняка будут хуже, чем у фильтра Чебышева.

Аппроксимационная формула фильтров Чебышева первого рода определяется выражением:

|H(W)|² = 1/ [1+δ² T_N²(W)],

где: Т_N(W) – многочлен Чебышева N-го порядка:

T_N(W) = cos(n arccos(W)),  W1.

T_N(W)    = ch(n arcch(W)),    W>1.     N = 1,2,…

W =  ω/ω_c – нормированная частота, ω_c – частота среза АЧХ фильтра;

N – порядок фильтра, определяющий крутизну среза АЧХ;

δ  — параметр, характеризующий пульсации в полосе пропуска­ния.

При W → 0 коэффициент передачи фильтра стремится к значению 1-Ap.

На рисунке1 показано поведение квадрата амплитудной харак­теристики для фильтров Чебышева 1 рода при четных и нечет­ных N. Во всех этих фильтрах граница полосы пропускания нахо­дится при W = 1, где:

|Н (1)|² = 1/(1 + е²),  а граница полосы не­пропускания расположена   при  W= W_s.

Фильтр Чебышева 1 рода имеет простые полюсы в точках sk = σ_k + jW_k, (где к = 1, 2,…, N), которые лежат в s-плоскости на эллипсе

где N – определяет порядок фильтра (число полюсов). Увеличение числа полюсов дает возможность увеличить крутизну спада от полосы пропускания к полосе подавления.

Выбирая фильтр Баттерворта мы ради плоской характеристики поступаемся всем остальным. Его характеристика идет горизонтально, начиная от нулевой частоты, перегиб ее начинается на частоте среза ω_C – эта частота обычно соответствует точке -3 дБ.

В большинстве применений самым существенным обстоятельством является то, что неравномерность характеристики в полосе пропускания недолжна превышать некоторой величины, скажем 1 дБ. Фильтр Чебышева отвечает этому требованию, при этом допускается некоторая неравномерность характеристики по всей полосе пропускания, но при этом сильно увеличивается острота её излома. Для фильтра Чебышева задают число полюсов и неравномерность в полосе пропускания. Допуская увеличение неравномерности в полосе пропускания., получаем более острый излом. Амплитудная характеристика этого фильтра описывается уравнением:

,                                           

где T_N – полином Чебышева первого рода степени N, а δ – константа, определяющая неравномерность характеристики в полосе её пропускания.

На самом деле фильтр Баттерворта с максимально плоской характеристикой в полосе пропускания не так привлекателен, как это может показаться, поскольку в любом случае приходится мириться с некоторой неравномерностью характеристики в полосе пропускания (для фильтра Баттерворта это будет постепенное понижение характеристики при приближении к частоте ω_c, а для фильтра Чебышева – пульсации, распределенные по всей полосе пропускания). Кроме того, активные фильтры, построенные из элементов, номиналы которых имеют некоторый допуск, будут обладать характеристикой, отличающейся от расчетной, а это значит, что в действительности на характеристике фильтра Баттерворта всегда будет иметь место некоторая неравномерность в полосе пропускания.

В свете вышеизложенного, весьма рациональной структурой является фильтр Чебышева. Иногда его называют равноволновым фильтром, так как его характеристика в области перехода имеет большую крутизну за счет того, что в полосе пропускания распределено несколько равновеликих пульсаций, число которых возрастает вместе с порядком фильтра.  Даже при сравнительно малых пульсациях (порядка 0,1дБ) фильтр Чебышева обеспечивает намного большую крутизну характеристики в переходной области, чем фильтр Баттерворта. Чтобы выразить эту разницу количественно, предположим, что требуется фильтр с неравномерностью характеристики в полосе пропускания не более 0,1 дБ и затуханием на частоте, отличающейся на 25% от граничной частоты пропускания. Расчет показывает, что в этом случае требуется 19-полюсной фильтр Баттерворта или всего лишь 8-полюсный фильтр Чебышева.

Перед тем как перейти к конкретным электрическим фильтрам, необходимо  сделать  два  замечания.

Во-первых, в теории фильтров принято иметь дело не с обычной угловой частотой ω, а с нормированной часто­той W= ω/ω_н, где ω_н — нормирующая частота. Обычно в ка­честве нормирующей частоты выбирают граничную частоту полосы  пропускания  ω_p, так  что  W_p = ω_p / ω_н = 1.

Во-вторых, имеет смысл подробно изучать только фильтры нижних частот, так как остальные типы фильтров (верхних частот, полосовые и заграждающие) могут быть легко получены из ФНЧ с помощью замены переменной (частоты) или, как принято говорить, с помощью преобразования частоты.

Синтез рекурсивных фильтров непосредственно в z-области возможен только для фильтров простого типа (режекторных и селективных) с ограниченным количеством полюсов и нулей (особых точек). В общем случае, процесс проектирования рекурсивного частотного фильтра обычно заключается в задании необходимой передаточной характеристики фильтра в частотной области и ее аппроксимации с определенной точностью какой-либо непрерывной передаточной функцией, с последующим z-преобразованием для перехода в z-область. Для алгебраического преобразования непрерывной передаточной функции в многочлен по z используется билинейное преобразование, известное в теории комплексных переменных под названием дробно-линейного преобразования.

Критерии выбора.

Теперь предположим, что мы решили использовать 6-полюсный фильтр нижних частот. Нам гарантирован окончательный спад характеристики на высоких частотах 36 дБ/октава. В свою очередь теперь можно оптимизировать  схему фильтра в смысле обеспечения максимально плоской характеристики в полосе пропускания за счет уменьшения крутизны перехода от полосы пропускания к полосе задерживания. С другой стороны, допуская некоторую неравномерность характеристики в полосе пропускания, можно добиться более крутого перехода от полосы пропускания к полосе задерживания. Третий критерий, который может оказаться также важным, описывает способность фильтра пропускать сигналы со спектром, лежащим в полосе пропускания, без искажений их формы, вызываемых фазовыми сдвигами. Можно также интересоваться временем нарастания, выбросом и временем установления.

Известны методы проектирования фильтров, пригодные для оптимизации любой из этих характеристик или их комбинации. Действительно разумный выбор фильтра происходит не так, как описано выше; как правило, сначала задаются требуемая равномерность характеристики в полосе пропускания и необходимое затухание на некоторой частоте вне полосы пропускания и некоторые другие параметры. После этого выбирается наиболее подходящая схема с количеством полюсов, достаточным для того, чтобы удовлетворялись все эти требования. Имеется две наиболее популярных схемы фильтров, а именно фильтр Баттерворта (максимально плоская характеристика в полосе пропускания) и фильтр Чебышева (наиболее крутой переход от полосы пропускания к полосе подавления). Любой из этих типов фильтров можно реализовать с помощью различных схем фильтров. Все они разным образом годятся для построения фильтров верхних и нижних частот, а так же полосовых фильтров.