Пусть m — натуральное число, m1, m2, …, mt — взаимно простые натуральные числа, произведение которых больше либо равно m.

Теорема

Любое число x: 0 <= x <= m может быть однозначно представлено в виде последовательности r(x) = (r1, r2, …, rt), где ri = x(mod mi). Для любых чисел r1 .. rt, таким образом, существует единственное число x(mod m), такое что x = ri(mod mi), 1 <= i <= t Более того, любое решение x набора такого сравнений имеет вид

x = r1*e1 + … + rt*et (mod m), где ei = m / mi * ( ( m/mi )-1 mod mi ),

1 <= i <= t.

Вышеприведенная формулировка — Китайская Теорема об Остатках в том виде, в котором ее сформулировал в 1247 году нашей эры китаец Jiushao Qin. Заметим, что число m/mi = m1*…*mi-1*mi+1*…*mt взаимно просто с mi, а значит обратное число в формуле для ei всегда существует. Кроме того, имеют место равенства

ei*ei = ei (mod m) ei * ej = 0 (mod m),  i =/= j.

Знакомым с теорией колец: Zm = Zm1 + … + Zmt, сумма прямая. ei, как следует из равенств выше — ортогональные идемпотенты в кольце Zm. Иначе говоря, кольцо R = Zm разлагается в прямую сумму

R = R1 + R2 + … + Rt ,

где Ri = Rei = {a*ei (mod m): a — целое} ~ Zmi , 1 <= i <= t.

Последовательность ( r1, …, rt ) называется модульным представлением x. Набор модульных представлений для всех x: 0 <= x <= m называется системой вычетов.